Representación y clasificación de productos tensoriales torcidos

Disciplina académico-profesional: Matemáticas

Representación y clasificación de productos tensoriales torcidos
  • Autor(es): Arce Flores, Jack Denne
  • Asesor(es): Valqui Haase, Christian Holger; Guccione, Juan José
  • Fecha: 25-ene-2018
  • Institución: Pontificia Universidad Católica del Perú
  • Disciplina académico-profesional: Matemáticas
  • Grado o título: Doctor en Matemáticas
  • Institución que otorga el grado o título: Pontificia Universidad Católica del Perú. Escuela de Posgrado
  • Fecha de registro: 25-ene-2018

Resumen de la Tesis

Esta tesis estudia la clasificación de los productos tensoriales torcidos de dos álgebras asociativas con unidad A y B, es decir, las estructuras de álgebra que puede adoptar el producto tensorial de espacios vectoriales subyacentes A B, compatibles con las estructuras de A y B. En primer lugar desarrollamos la teoría básica que se encuentra dispersa en varios artículos de investigación y establecemos como primer resultado propio, la dualidad que existe entre las aplicaciones de torcimiento de un producto tensorial torcido y su álgebra opuesta. Este resultado parece haber sido conocido entre los expertos del área sin embargo no se encuentra ninguna prueba en la literatura. Luego estudiamos el caso en que uno de los factores del producto tensorial torcido tiene dimensión finita. Por ejemplo si A tiene dimensión finita, se establece que bajo estas condiciones definir una aplicación de torcimiento de A con B es equivalente a definir un par de representaciones matriciales (p , ph), una de B y otra de Aop. La primera tiene coeficientes en A y la segunda tiene coeficientes en Endk(B). Además, obtenemos una representación matricial el del producto tensorial torcidos en Mn(B). Estas representaciones constituyen el resultado principal propio en el segundo capítulo. Como aplicación describimos los productos tensoriales torcidos estudiados por Cibils, Jara et al. y Guccione et al. en términos del par de representaciones (p , ph) y deducimos las condiciones que permiten a los autores en cada uno de los casos lograr una clasificación (parcial o total). A continuación nos enfocamos en las aplicaciones de torcimiento de Kn con Km. Establecemos una caracterización de estas aplicaciones de torcimiento en términos de matrices con coeficientes en K, la cual se debe a que ambas álgebras son conmutativas y de dimensión finita. Tal caracterización nos permite clasificar completamente las aplicaciones de torcimiento de rango reducido 1 que en nuestro lenguaje se ve muy diferente de la clasificación alcanzada por Jara et al.. Luego desarrollamos herramientas para el estudio de dos familias de productos tensoriales torcidos: las estándar y las casi-estándar. Estas herramientas permiten estudiar la relación entre las aplicaciones de torcimiento estándar, y casi-estándar, con las álgebras de camino de Quivers, y establecen una generalización del resultado obtenido por Cibils para n = 2. Para analizar utilizamos todos de los resultados obtenidos para clasificar los productos tensoriales torcidos en el caso de dimensiones bajas, incluyendo todas las aplicaciones de torcimiento de K3 con K3.

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¿Cuatro puntos importantes para elaborar una tesis con éxito?

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  1. Título: Tiene que ser un texto que resuma el tema que se busca investigar. Busca que sea concreto, acotado y con un alto nivel de claridad.
  2. Problema: Ya con el título, debes colocar un apartado donde se indique cuál es el problema a evaluar o tratar, esto tiene que estar vinculado con el tema central. Ten en cuenta que a la hora de plantear el problema, es práctico recordar que si no existe problema no hay necesidad de estudio.
  3. Hipótesis: En la hipótesis tenemos que plantear, a través de uno o más argumentos, aquello que consideras que supone el problema de tu investigación.
  4. Metodología: Cuando menciones la metodología debes dejar en claro cuáles son las herramientas a las que recurrirás. ¿Realizarás encuestas? ¿Recurrirás a material bibliográfico? Identifica cuántas y cuáles son.

¿Cuáles son las partes de una tesis?

  1. Concebir la idea de investigación
  2. Planteamiento del problema
  3. Marco Contextual
  4. Marco teórico
  5. Definición del tipo de investigación
  6. Formulación de la hipótesis
  7. Diseño de la investigación
  8. Selección de la muestra
  9. Recolección de datos
  10. Análisis de los datos
  11. Elaboración del reporte de investigación
  12. Recomendaciones generales

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  • Palabras clave: Álgebras asociativas Cálculo de tensores Productos tensoriales Álgebra tensorial

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